Inverse#

バージョン名: Inverse-14

カテゴリー: 行列

簡単な説明: Inverse 操作は、1 つまたは一連の正方可逆行列の逆行列または随伴行列 (共役転置) を計算します。

詳細な説明: Inverse 操作は、正方行列の逆行列を計算します。

N 次元の正方行列 $A$ の逆行列 $A^{- 1}$ は次のように定義されます:

A \cdot A^{- 1} = A^{- 1} \cdot A = I

ここで、\(I は n 次元単位行列です。

逆行列は、入力行列が逆行列である (逆行列定理のいずれかのプロパティーを満たす) 場合にのみ存在します。その場合、逆が存在し一意になります。ただし、行列が可逆でない場合、操作により例外が発生するか、未定義の結果となる可能性があります。並列処理と異なるデータタイプの実装により、異なるデバイス上の同じ入力データに対して、若干異なる結果が返される場合があります。

この操作により、随伴行列の逆行列を計算できます。

非複素数の正方行列 $A$ の随伴行列 (共役転置) $a d j (A)$ は、次のように簡単に定義されます:

a d j (A) = A^{T}

ここで、 $A^{T}$ は $A$ の転置行列です。

adjoint == true の場合、アルゴリズムの出力は (A^{T})^{-1} で表すことができます。

アルゴリズムの定式化:

この操作では、部分ピボットを使用した LU 分解を使用して逆行列 (または随伴行列) を計算します。

注

LU 分解は、行列 $A$ を 2 つの行列 $L$ と $U$ に分解します。ここで、 $L$ はすべての対角要素が 1 である下三角行列で、 $U$ は上三角行列です。

A = L \cdot U

d e t (A) = d e t (L) * d e t (U) = 1 * d e t (U) = d e t (U)

注

$A$ の逆行列を計算するには、LU 分解で n 個の単純線形方程式のセットを解くだけで十分です。単純な線形方程式は $A x = b$ です。ここで、x と b はベクトルであり、x は方程式の解です。目標は、行列 $A^{- 1}$ の i 番目の列となる x を計算することです。これを行うには、値が 1 である i 番目のスポットを除いて、b をゼロのベクトルとします (この場合、b は行列 I の i 番目の列になります)。x ベクトルが行列 $A^{- 1}$ を作成し、b ベクトルが単位行列を作成することがわかります。

A \cdot A^{- 1} = I ⟹ A^{- 1} = [x_{1} & x_{2} & . . . & x_{n}], A \cdot x_{i} = b_{i}, b_{i} \in c o l_{i} (I)

注

LU 分解を使用すると、単純な線形方程式を 2 つのさらに単純な線形方程式に置き換えることができます。

A \cdot x = b ⟺ L \cdot U \cdot x = b ⟺ L \cdot y = b, U \cdot x = y

アルゴリズムの疑似コード:

元の行列 $A$ から始めます。 $A$ のデータタイプが f32 でない場合、丸め誤差の蓄積を避けるため f32 に変換します。
初期行列を行列 $U$ にコピーします。行列 $L$ を単位行列 (すべての対角要素が 1 に設定されたゼロ行列) に初期化します。
- adjoint == true の場合、U を直接コピーではなく、初期行列の転置に設定します。
部分ピボットを使用して LU 分解を実行します。
- 入力行列の各列に対してこの手順を繰り返します。
- c を現在処理中の列のインデックスとします。
- 指定された列内で最高値を持つ行のインデックスを検索し、pivot とします。
- $p i v o t \neq c$ の場合、 $L$ の pivot と c 行を入れ替えます。 $U$ についても繰り返します。
- 標準的なガウス消去法を実行します。
逆関数を得るには、前述のように $A^{- 1}$ の各列を解きます。
- 線形方程式 $L y = b$ を y について解く (前方置換)
- 線形方程式 $U x = y$ を x について解く (後方置換)
- x を出力逆行列 $A^{- 1}$ の対応する列に設定します
計算された行列を返します。f32 から元の要素タイプに戻します。

属性:

随伴
- 説明: 操作の戻り値を変更します。true の場合、この操作は逆行列を求める代わりに、入力行列の随伴行列 (共役転置) を返します。
- 値の範囲: true、false
  - true - 随伴行列を出力します。
  - false - 逆行列を出力します。
- タイプ: bool
- デフォルト値 : false
- 必須: いいえ

入力:

1: input - 入力正方行列を表す形状 [B1、B2、…、Bn、ROW、COL] およびタイプ T のテンソル。最も内側の 2 つの次元は正方行列を形成し、同じサイズでなければなりません。B1、B2、…、Bn は、任意の量のバッチ次元を表します (単一の行列入力の場合は 0 にすることができます)。必須。

出力:

1: output - 入力と同じタイプ T および入力と同じ形状 [B1、B2、…、Bn、ROW、COL] を持つテンソル。入力行列の逆行列 (または共役行列) を表します。

タイプ

T: サポートされている浮動小数点タイプ。f32 以外のタイプは、この操作を実行する前に f32 に変換され、その後、丸め誤差の蓄積を避けるために元の入力タイプに戻されます。

例 1: 2D 入力行列。

<layer ... name="Inverse" type="Inverse"> 
    <data/> 
    <input> 
        <port id="0" precision="FP32"> 
            <dim>3</dim> <!-- 3 行の正方行列 --> 
            <dim>3</dim> <!-- 3 列の正方行列 --> 
        </port> 
    </input> 
    <output> 
        <port id="1" precision="FP32" names="Inverse:0"> 
            <dim>3</dim> <!-- 3 行の正方行列 --> 
            <dim>3</dim> <!-- 3 列の正方行列 --> 
        </port> 
    </output> 
</layer>

例 2: 1 つのバッチ次元と adjoint=true を持つ 3D 入力テンソル。

<layer ... name="Inverse" type="Inverse"> 
    <data adjoint="true"/> 
    <input> 
        <port id="0" precision="FP32"> 
            <dim>2</dim> <!-- バッチサイズ 2 --> 
            <dim>4</dim> <!-- 4 行の正方行列 --> 
            <dim>4</dim> <!-- 4 列の正方行列 --> 
        </port> 
    </input> 
    <output> 
        <port id="1" precision="FP32" names="Inverse:0"> 
            <dim>2</dim> <!-- バッチサイズ 2 --> 
            <dim>4</dim> <!-- 4 行の正方行列 --> 
            <dim>4</dim> <!-- 4 列の正方行列 --> 
        </port> 
    </output> 
</layer>

例 3: 3 つのバッチ次元を持つ 5D 入力テンソル。

<layer ... name="Inverse" type="Inverse"> 
    <data/> 
    <input> 
        <port id="0" precision="FP32"> 
            <dim>5</dim> <!-- バッチサイズ 5 --> 
            <dim>4</dim> <!-- バッチサイズ 4 --> 
            <dim>3</dim> <!-- バッチサイズ 3 --> 
            <dim>2</dim> <!-- 2 行の正方行列 --> 
            <dim>2</dim> <!-- 2 列の正方行列 --> 
        </port> 
    </input> 
    <output> 
        <port id="1" precision="FP32" names="Inverse:0"> 
            <dim>5</dim> <!-- バッチサイズ 5 --> 
            <dim>4</dim> <!-- バッチサイズ 4 -->
            <dim>3</dim> <!-- バッチサイズ 3 --> 
            <dim>2</dim> <!-- 2 行の正方行列 --> 
            <dim>2</dim> <!-- 2 列の正方行列 --> 
        </port> 
    </output> 
</layer>